Příklady online

43 - Základní poznatky

Pomocí Vennových diagramů rozhodni, zda platí následující rovnost:

obtížnost
43/a

$(A ∪ B) ∩ C = (B ∩ C) ∪ (A ∩ C)$

Zobrazit řešení

V této úloze máš za úkol porovnat dvě různé množiny a rozhodnout, zda-li se množina na levé straně rovnosti rovná té na pravé. Budeš k tomu používat Vennovy diagramy. Nalevo máš průnik množiny C se sjednocením množin A a B a napravo sjednocení průniku množin B a C s průnikem množin A a C. Budeš si postupně vybarvovat jednotlivé množiny.

Začneš levou stranou rovnosti (AB) ∩ C. Nejdříve si vyznačíš sjednocení množin A a B.

Nyní vybarvíš množinu C.

Teprve teď zvýrazníš průnik obou těchto množin (AB) ∩ C.

Znovu uděláš to samé s pravou stranou rovnosti (BC) ∪ (AC). Nejprve si vyznačíš, jak vypadají závorky (BC) a (AC). Máš znázorněný průnik množin B a C.

Teď přijde na řadu průnik množin A a C.

Uděláš sjednocení obou dvou množin (BC) ∪ (AC). Porovnáš-li vybarvené části v diagramech pro levou a pravou stranu rovnosti, zjistíš, že jsou stejné, tudíž rovnost platí.

obtížnost
43/b

$(A\ – B) ∪ (B\ – C) ∪ (C\ – A) = A ∪ B ∪ C$

Zobrazit řešení

V této úloze máš za úkol porovnat dvě různé množiny a rozhodnout, zdali se množina na levé straně rovnosti rovná té na pravé. Budeš k tomu používat Vennovy diagramy. Máš tu sjednocení tří rozdílů nalevo a sjednocení všech tří množin A, B, C napravo. Pouze na tobě je rozhodnutí, zda-li se tato dvě sjednocení rovnají.

Začneš levou částí rovnosti. Barevně si vyznačíš rozdíly všech tří množin. U množiny (AB) patří do této množiny ta část množiny A, která není součástí množiny B. Stejně to platí i ve dvou zbývajících případech.

Při sjednocení vybarvíš téměř vše kromě jedné malé části. Jedná se o část, již mají společné všechny 3 množiny a nepatří tedy do celkového sjednocení (AB) ∪ (BC) ∪ (CA). Levou část rovnosti máš tímto vyřešenou. Teď tě bude zajímat pravá část. Sjednocení ABC.

V dalším kroku vybarvíš úplně všechny tři množiny, protože všechny je sjednocuješ.

Když porovnáš levou a pravou stranu rovnosti, zjistíš, že zvýrazněné části se od sebe liší. Tím pádem tvůj verdikt zní: rovnost neplatí.

obtížnost
43/c

$A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)$

Zobrazit řešení

V této úloze máš za úkol porovnat dvě různé množiny a rozhodnout, zdali se množina na levé straně rovnosti rovná té na pravé. Budeš k tomu používat Vennovy diagramy. Nalevo máš sjednocení množiny A s průnikem množin B a C. Napravo potom průnik sjednocení množin A a B se sjednocením množin  A a C. Začneš levou stranou rovnosti A ∪ (BC).

Vyznačíš jednotlivé množiny, poté je budeš sjednocovat.

A sjednocení je na světě! Jsi na půli cesty, ještě tě čeká pravá strana rovnosti. Zajímá tě průnik (AB) ∩ (AC). Začni sjednoceními uvnitř závorek.

Vybarvíš si jednotlivá sjednocení. Jsou to části, které patří do obou množin.

Dostaneš se k výslednému průniku. Zvýrazníš si tu část, již měly obě původní množiny společnou.

Když porovnáš levou a pravou stranu rovnosti, zjistíš, že se navzájem rovnají, tudíž rovnost platí.

obtížnost
43/d

$A' ∪ B' = (A ∩ B)'$

Zobrazit řešení

V této úloze máš za úkol porovnat dvě různé množiny a rozhodnout, zdali se množina na levé straně rovnosti rovná té na pravé straně. Budeš k tomu používat Vennovy diagramy. Zdánlivě to vypadá, že se jedná o dvě velmi jednoduché množiny, ale pouhým okem jejich rovnost tak snadno neověříš. Zatímco nalevo máš sjednocení doplňků množin A, B, napravo se nachází doplněk průniku množin A a B. Nejdříve tě bude zajímat levá strana rovnosti, poté pravá.

Nejdříve si vyznačíš doplňky jednotlivých množin. V dalším kroku je sjednotíš.

Sjednocení se podařilo! Teď ti stačí to samé udělat s pravou stranou rovnosti. Nyní se soustředíš na množinu (AB)'. Opět se nejdřív budeš zabývat tím, co je v závorce a až poté výsledným doplňkem.

Máš tu průnik množin A a B. Vybarvíš si tu část, již mají společnou.

A jsi na konci! Doplňkem je vše, co nevybarvíš v předchozím průniku množin A a B.

Když porovnáš levou a pravou stranu rovnosti, zjistíš, že se rovnají. Můžeš tedy s klidem říct, že rovnost platí.

obtížnost
43/e

$(A ∩ C) ∪ (C ∩ B) = C ∩ (A ∪ B)'$

Zobrazit řešení

V této úloze máš za úkol porovnat dvě různé množiny a rozhodnout, zdali se množina na levé straně rovnosti rovná té na pravé. Budeš k tomu používat Vennovy diagramy. Nalevo máš sjednocení dvou průniků a napravo průnik množiny C s doplňkem sjednocení množin A a B. Nejdřív se pustíš do levé strany rovnosti. Zajímá tě výraz (AC) ∪ (CB).

Vyznačíš si průniky uvnitř závorek. Jsou to společné části příslušných množin.

Sjednotíš oba průniky a získáš konečnou podobu množiny (AC) ∪ (CB). Ještě pravá strana rovnice a budeš v cíli! Nyní se soustředíš na výraz C ∩ (AB)'. Jako ve všech předchozích příkladech, i v této úloze začneš od závorky se sjednocením, až poté zjistíš výsledný průnik s množinou C.

Vybarvíš si jednotlivé části celkového průniku. Doplňkem sjednocení je vše, co do tohoto sjednocení nepatří.

Dostaneš výsledný průnik s množinou C.

Když porovnáš levou a pravou stranu rovnosti, tak zjistíš, že se v zvýrazněné části liší. Znamená to, že rovnost neplatí.

obtížnost
43/f

$(A ∪ B) ∩ (A ∪ C') = A ∪ (B ∩ C')$

Zobrazit řešení

V této úloze máš za úkol porovnat dvě různé množiny a rozhodnout, zdali se množina na levé straně rovnosti rovná té na pravé. Budeš k tomu používat Vennovy diagramy. V zadání je průnik sjednocení množin A a B se sjednocením množiny A a doplňku množiny C na levé straně rovnosti. Na pravé straně rovnosti se nachází sjednocení množiny A s průnikem množiny B s doplňkem množiny C. Nejdříve se pustíš do levé strany rovnosti.

Začneš závorkami. Vyznačíš si množiny (AB) a (AC').

Vybarvíš si průnik (AB) ∩ (AC‘). Je to množina, která byla součástí obou dvou množin, jež máš vyznačené v předchozím kroku. To samé uděláš s pravou stranou rovnosti. Zajímá tě množina A ∪ (BC‘).

Zvýrazníš si množinu A a ve vedlejším obrázku průnik množiny B s doplňkem množiny C. Doplňkem množiny C je vše, co do množiny C nepatří.

Vyznačíš výsledné sjednocení. Když sjednocuješ dvě množiny, tak ve sjednocení máš úplně všechny prvky, co se vyskytují alespoň v jedné z nich.

A jsi na konci! Když porovnáš obě strany rovnosti, vidíš, že výsledná množina je u obou stejná.

obtížnost
43/g

$A' ∪ (B ∩ C') = (A ∩ B') ∩ (A' ∪ C)$

Zobrazit řešení

V této úloze máš za úkol porovnat dvě různé množiny a rozhodnout, zdali se množina na levé straně rovnosti rovná té na pravé. Budeš k tomu používat Vennovy diagramy. Už se ti tu míchá úplně všechno. Sjednocení průniku s doplňkem, sjednocení množiny s doplňkem jiné množiny i průnik množiny s doplňkem jiné množiny. Neboj, postup zůstane stejný. Začneš levou stranou rovnosti A' ∪ (BC').

S doplňky je to tentokrát trochu těžší, takže si závorku vyznačíš nadvakrát. Nejdříve množinu B a potom doplněk množiny C.

Zvýrazníš si množinu, která je v závorce (BC'). Do průniku patří jen to, co se nachází v obou množinách zároveň.

Ve sjednocení nebudeš mít množinu A. Bude tam pouze ta část množiny A, jež je společná s množinou B. Teď tě čeká pravá strana rovnosti (AB') ∩ (A' ∪ C).

Vybarvíš si jednotlivé množiny v závorce (AB'). Na základě nich pak nalezneš společný průnik.

Stejným způsobem vyřešíš závorku (A' ∪ C). Do výsledného sjednocení patří vše, kromě množiny A. Z množiny A je ve sjednocení pouze ta část, kterou má společnou s množinou C, protože množina C je součástí sjednocení.

Nyní uděláš pouze průnik množin na pravé straně rovnosti (AB') ∩ (A' ∪ C).

Když porovnáš levou a pravou stranu rovnosti, tak uvidíš, že výsledné množiny se liší. Rovnost tedy tentokrát neplatí.

obtížnost
43/h

$A' ∩ (B' ∪ C) = (A ∪ B)' ∩ (A' ∪ C)$

Zobrazit řešení

V této úloze máš za úkol porovnat dvě různé množiny a rozhodnout, zdali se množina na levé straně rovnosti rovná té na pravé. Budeš k tomu používat Vennovy diagramy. V zadání jsou celkem čtyři doplňky. Někdy se týkají jen jedné množiny, někdy celého sjednocení dvou množin. Bude třeba myslet na hodně věcí a dělat i více mezikroků. Začneš levou stranou rovnosti. Zajímá tě průnik A' ∩ (B' ∪ C). Děláš průnik doplňku množiny se sjednocením množiny C a doplňku množiny B.

Nejdříve si vybarvíš jednotlivé nejjednodušší množiny. V doplňku libovolné množiny je obsaženo všechno, co do ní nepatří.

Vyznačíš si sjednocení množiny C s doplňkem množiny B. Patří tam to, co není v množině B. Pouze ta část množiny B, jež je společná s množinou C, tam patří.

A jsi u výsledného průniku. Jestliže v některém z předchozích dvou obrázků máš bílou část, pak tato bílá část je i ve výsledném průniku. Důvod je ten, že do průniku patří jen to, co se nachází uvnitř obou množin zároveň a tedy to, co vybarvíš u obou množin. Ještě pravá strana rovnosti a máš to z krku! Zajímá tě výsledný průnik (AB)' ∩ (A' ∪ C). Jedná se o průnik sjednocení s doplňkem jiného sjednocení.

Nejdříve si zvýrazníš sjednocení množin A a B. Poté můžeš snadno určit doplněk tohoto sjednocení. Jedná se o část, která nepatří do původního sjednocení.

Teď vyřešíš druhou závorku. Uděláš sjednocení množiny C s doplňkem množiny A. Ve sjednocení bude vše kromě množiny A. Pouze ta část množiny A, jež je společná s množinou C, tam patří. Nyní uděláš průnik obou dvou závorek.

Takto vypadá výsledný průnik. Jedná se o společné části obou dvou množin. Je totožný se závorkou (AB)', protože druhá množina nemá žádné bílé části navíc. Teď už zbývá porovnat levou a pravou stranu rovnosti.

Levá a pravá strana rovnosti se navzájem liší, takže tato rovnost neplatí.