Příklady online

Řešení příkladů v učebnici

Nechceme Vás nechat napospas nevyřešeným příkadům z učebnice.

Na tomto místě najdete postup a řešení ke každému příkladu, které není uvedeno v papírové učebnici.

obtížnost
1/a

$\left({\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) ⋅ \left({\frac{2}{5}\ – \frac{3}{4}} \right)$

Zobrazit řešení

Prvním krokem je vypočítání závorek, teprve potom můžeš násobit. V případě, že se dají zlomky zkrátit, zkrať je ještě před násobením. Poté stačí jen vynásobit čitatele s čitatelem a jmenovatele s jmenovatelem.

$\left({\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) ⋅ \left({\frac{2}{5}\ – \frac{3}{4}} \right) = \frac{3\ +\ 2}{6} ⋅ \frac{8\ –\ 15}{20} =$

Závorky vypočítáš tak, že oba dva členy uvnitř převedeš na společného jmenovatele, nejlépe na jejich nejmenší společný násobek. Nejmenší společný násobek dvojky a trojky je 6, pětky a čtyřky je 20. Potom jednotlivé čitatele vynásobíš takovým číslem, kterým se zvětšil jejich původní jmenovatel: např. první zlomek trojkou a druhý zlomek dvojkou.

$= \frac{5}{6} ⋅ \left({– \frac{7}{20}} \right) = \frac{1}{6} ⋅ \left({– \frac{7}{4}} \right) =$

Než zlomky vynásobíš, zjednoduš si počítání tím, že je křížem zkrátíš. Tzn. čitatele prvního zlomku se jmenovatelem druhého zlomku a naopak. V tomto případě můžeš krátit jen pětku s dvacítkou. Nakonec vynásobíš čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem a máš výsledek.

$=\ – \frac{7}{24}$

Výsledek vyšel záporný, protože jeden ze dvou zlomků nesl znaménko minus.

obtížnost
1/b

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} ⋅ \frac{2}{5}\ – \frac{3}{4}$

Zobrazit řešení

Tento příklad se od předchozího liší absencí závorek. Je to sice pouze malá změna, ale s výsledkem může udělat divy. Musíš si dát pozor, že násobení (a dělení) má přednost před sčítáním a odčítáním!

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} ⋅ \frac{2}{5}\ – \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{2}{15}\ – \frac{3}{4} =$

Nejprve je nutné vynásobit spolu oba dva zlomky, mezi nimiž se nachází znaménko pro násobení (čitatele s čitatelem, jmenovatele se jmenovatelem).

$= \frac{30}{60} + \frac{8}{60}\ – \frac{45}{60} = \frac{30\ +\ 8\ –\ 45}{60} =$

Teď už můžeš sčítat a odčítat, ale nezapomeň, že bez převedení zlomků na stejného jmenovatele to nepůjde.

$=\ – \frac{7}{60}$

Výsledek bude se znaménkem minus, jelikož v čitateli ti vyjde číslo –7, což změní celý zlomek na záporný.

obtížnost
1/c

$\frac{1}{3}\ – \frac{5}{8} ⋅ \left({\frac{1}{4}\ – \frac{5}{6}} \right)$

Zobrazit řešení

U tohoto příkladu nejprve vypočítáš závorku, poté přijde na řadu násobení. Posledním krokem je odečítání.

$\frac{1}{3}\ – \frac{5}{8} ⋅ \left({\frac{1}{4}\ – \frac{5}{6}} \right) = \frac{1}{3}\ – \frac{5}{8} ⋅ \frac{3\ ⋅\ 1\ –\ 2\ ⋅\ 5}{12} = \frac{1}{3}\ – \frac{5}{8} ⋅ \left({– \frac{7}{12}} \right) =$

Členy závorky od sebe můžeš odečíst pouze tehdy, pokud je převedeš na stejného jmenovatele.

$= \frac{1}{3} + \frac{5\ ⋅\ 7}{8\ ⋅\ 12} = \frac{1}{3} + \frac{35}{96} =$

Teď je na řadě násobení. Vynásob čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem. Nezapomeň ovšem na znaménka minus, která jsou před oběma zlomky. Pravidlo zní: minus a minus dává vždy plus!

$= \frac{32\ +\ 35}{96} =$

K sečtení zlomků je znovu potřeba jejich převedení na společného jmenovatele.

$= \frac{67}{96}$

V tomhle případě nelze krátit žádným společným dělitelem, tudíž zlomek zůstane v této, ne příliš hezké, podobě.

obtížnost
1/d

$\left({\frac{1}{3}\ – \frac{5}{8}} \right) ⋅ \frac{1}{4}\ – \frac{5}{6}$

Zobrazit řešení

U tohoto příkladu nejprve vypočítáš závorku, poté přijde na řadu násobení a jako poslední odčítání.

$\left({\frac{1}{3}\ – \frac{5}{8}} \right) ⋅ \frac{1}{4}\ – \frac{5}{6} = \frac{8\ ⋅\ 1\ –\ 3\ ⋅\ 5}{24} ⋅ \frac{1}{4}\ – \frac{5}{6} =\ – \frac{7}{24} ⋅ \frac{1}{4}\ – \frac{5}{6} =$

Oba zlomky v závorce převedeš na stejného jmenovatele. Když čitatele ve zlomku odečteš, vyjde ti výsledný čitatel záporně. To zapříčiní, že před celým zlomkem bude znaménko minus.

$=\ – \frac{7}{96}\ – \frac{5}{6} =$

Teď je řada na násobení, které má před odčítáním přednost. Vynásobíš čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem. Nezapomeň, že výsledný zlomek bude záporný.

$= \frac{–7\ –\ 80}{96} =\ – \frac{87}{96} =$

V dalším kroku zlomky odečteš. Tudíž je musíš převést na stejného jmenovatele. Zlomek můžeš zkrátit, aby byl v hezčích menších číslech.

$=\ – \frac{29}{32}$

Výsledek bude záporný, a to kvůli čitateli, který vyšel se znaménkem minus.

obtížnost
2/a

$\frac{\frac{2}{7}\ –\ \frac{1}{2}}{3\ –\ \frac{3}{4}}$

Zobrazit řešení

V tomto případě se jedná o složený zlomek. Nejprve od sebe odečteš zlomky nad zlomkovou čarou a taktéž zlomky pod zlomkovou čarou, poté se můžeš pustit do jejich dělení.

$\frac{\frac{2}{7}\ –\ \frac{1}{2}}{3\ –\ \frac{3}{4}} = \frac{\frac{2\ ⋅\ 2\ –\ 1\ ⋅\ 7}{14}}{­\frac{3\ ⋅\ 4\ –\ 3}{4}} = \frac{–\ \frac{3}{14}}{\frac{9}{4}} =$

Nejdříve převedeš oba dva zlomky nad hlavní zlomkovou čarou na stejného jmenovatele (najdeš nejmenší společný násobek obou jmenovatelů a čitatele těchto zlomků vynásobíš takovým číslem, kterým byl zvětšen jejich původní jmenovatel). Totéž provedeš se spodní částí zlomku (trojku si pro zjednodušení představ jako $\frac{3}{1}$).

$=\ – \frac{3}{14} : \frac{9}{4} =\ – \frac{3}{14} ⋅ \frac{4}{9} =$

Zlomková čára má stejnou funkci jako znaménko pro dělení, což znamená, že si horní a dolní zlomek můžeš přepsat jako dva zlomky, které mezi sebou dělíš. A protože „dělit znamená násobit číslem převráceným“, můžeš tedy dělený zlomek násobit převrácenou hodnotou dělicího zlomku – u druhého zlomku prohodíš čitatele se jmenovatelem.

$=\ – \frac{1}{7} ⋅ \frac{2}{3} =\ – \frac{1\ ⋅\ 2}{7\ ⋅\ 3} =$

V zápisu si všimni, že zlomky lze zkrátit: čitatel prvního zlomku se jmenovatelem druhého a naopak. Dále zlomky obyčejně vynásobíš (čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem) a máš výsledek!

$=\ – \frac{2}{21}$

Výsledný zlomek vyjde záporný, a to z prostého důvodu, že jeden ze dvou násobených zlomků měl zápornou hodnotu.

obtížnost
2/b

$\frac{1\ –\ \frac{5}{6}}{1\ –\ \frac{6}{5}}$

Zobrazit řešení

V tomto případě se jedná o složený zlomek. Nejprve od sebe odečteš hodnoty nad zlomkovou čarou a taktéž pod zlomkovou čarou, poté se můžeš pustit do jejich dělení.

$\frac{1\ –\ \frac{5}{6}}{1\ –\ \frac{6}{5}} = \frac{\frac{6}{6}\ −\ \frac{5}{6}}{­\frac{5}{5}\ −\ \frac{6}{5}} = \frac{\frac{­1}{6}}{–\ \frac{1}{5}} =$

Prvním úkolem je vypočítat horní a dolní část složeného zlomku. Je potřeba převést obě dvě čísla na stejného jmenovatele a odečíst je od sebe. V tomto případě si pro usnadnění stačí představit jedničku v horní části jako $\frac{6}{6}$ a v dolní části jako $\frac{5}{5}$.

$=\ \frac{1}{6} : \left({– \frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{6} ⋅ \left({– \frac{5}{1}} \right) =\ – \frac{1\ ⋅\ 5}{6\ ⋅\ 1} =$

Zlomková čára má stejnou funkci jako znaménko pro dělení, což znamená, že si horní a dolní zlomek můžeš přepsat jako dva zlomky, které dělíš. A protože „dělit znamená násobit číslem převráceným“, můžeš pak dělený zlomek násobit převrácenou hodnotou dělicího zlomku – u druhého zlomku prohodíš čitatele se jmenovatelem. Dále zlomky obyčejně vynásobíš (čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem) a máš výsledek!

$=\ – \frac{5}{6}$

Nezapomeň, že výsledek bude záporný, a to kvůli druhému zlomku, který vyšel se znaménkem minus.

obtížnost
2/c

$\frac{2 \frac{3}{4}\ –\ \frac{2}{3}}{2 \frac{3}{4}\ –\ 1 \frac{1}{5}\ +\ \frac{2}{10}}$

Zobrazit řešení

V tomto případě se jedná o složený zlomek. Nejprve od sebe odečteš hodnoty nad zlomkovou čarou a taktéž hodnoty pod zlomkovou čarou, poté se můžeš pustit do jejich dělení.

$\frac{2 \frac{3}{4}\ –\ \frac{2}{3}}{2 \frac{3}{4}\ –\ 1 \frac{1}{5}\ +\ \frac{2}{10}} = \frac{\frac{­8\ +\ 3}{4}\ –\ \frac{2}{3}}{\frac{4\ ⋅\ 2\ +\ 3}{4}\ –\ \frac{5\ +\ 1}{5}\ +\ \frac{2}{10}} = \frac{\frac{11}{4}\ –\ \frac{2}{3}}{\frac{11}{4}\ –\ \frac{6}{5}\ +\ \frac{1}{5}} =$

Prvním úkolem bude vypočítat horní a dolní část složeného zlomku. Nejdříve tedy sečteš/odečteš zlomky nad hlavní zlomkovou čarou a stejně tak zlomky pod ní. V příkladu se ale objevují i dva smíšené zlomky – vyjádřené pomocí celého čísla. Číslo před zlomkem si představíš jako zlomek, který když vydělíš (čitatel svým jmenovatelem), vzejde z toho právě dané číslo. Jeho jmenovatel musí být shodný se jmenovatelem zlomku, ke kterému toto číslo patří. Potom oba zlomky sečteš. Kdykoliv lze nějaký zlomek krátit, neváhej. Zjednoduší se ti celé počítání.

$= \frac{\frac{11\ ⋅\ 3\ –\ 2\ ⋅\ 4}{12}}{\frac{11\ ⋅\ 5\ –\ 6\ ⋅\ 4\ +\ 1\ ⋅\ 4}{20}} = \frac{\frac{33\ –\ 8}{12}}{\frac{55\ –\ 24\ +\ 4}{20}} =$

Dále, než budeš moct zlomky sečíst nebo odečíst, je potřeba jejich převedení na stejného jmenovatele.

$= \frac{25}{­12} : \frac{35}{20} = \frac{25}{12} ⋅ \frac{20}{35} = \frac{5}{3} ⋅ \frac{5}{7} = \frac{5\ ⋅\ 5}{3\ ⋅\ 7} =$

Zlomková čára má stejnou funkci jako znaménko pro dělení, což znamená, že si horní a dolní zlomek můžeš přepsat jako dva zlomky, které dělíš. A protože „dělit znamená násobit číslem převráceným“, můžeš pak dělený zlomek násobit převrácenou hodnotou dělicího zlomku – u druhého zlomku prohodíš čitatele se jmenovatelem. V zápisu si všimni, že zlomky lze zkrátit: čitatel prvního zlomku se jmenovatelem druhého zlomku a naopak. Dále zlomky obyčejně vynásobíš (čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem) a máš výsledek!

$= \frac{25}{21}$

Když zlomek před násobením nezkrátíš, nic se neděje, bude mít stále stejnou hodnotu. Krácení je operace užitečná pouze proto, aby se ti lépe počítalo – s menšími čísly to jde přece jednodušeji. Zkrátit potom můžeš i výsledný zlomek. Zde už je zlomek napsaný ve své základní podobě.

obtížnost
2/d

$\frac{\frac{2}{3}\ –\ (–2 \frac{4}{5})­}{\frac{1}{3}\ :\ \frac{5}{13}}$

Zobrazit řešení

V tomto případě se jedná o složený zlomek. Když vypočítáš hodnotu čísel nad zlomkovou čarou a taktéž hodnotu pod zlomkovou čarou, můžeš se pustit do dělení samotného zlomku.

$\frac{\frac{2}{3}\ –\ (–2 \frac{4}{5})­}{\frac{1}{3}\ :\ \frac{5}{13}} = \frac{\frac{2}{3}\ –\ (–\ \frac{10\ +\ 4}{5­})}{\frac{1}{3}\ :\ \frac{5}{13}} =$

Prvním úkolem je vypočítat horní a dolní část složeného zlomku. Jelikož jde o zlomek složitějšího rázu, je lepší zabývat se nejprve výpočtem hodnoty nad zlomkovou čarou. Zlomek v horní části je smíšený. Toho se zbavíš takto: číslo před zlomkem si představ jako zlomek, který když vydělíš (čitatel svým jmenovatelem), vzejde z toho právě dané číslo. Jeho jmenovatel musí být shodný se jmenovatelem zlomku, ke kterému toto číslo patří.

$= \frac{\frac{2\ ⋅\ 5\ +\ 14\ ⋅\ 3}{15}}{­\frac{1}{3}\ :\ \frac{5}{13­}} =$

Minus a minus dává plus, což znamená, že zlomky je třeba sečíst. K tomu je zapotřebí jejich převedení na stejného jmenovatele.

$= \frac{\frac{52}{15}}{\frac{1}{­3}\ ⋅\ \frac{13}{5}} = \frac{\frac{­52}{15}}{\frac{1\ ⋅\ 13}{3\ ⋅\ 5}} = \frac{52}{­15} : \frac{13}{15} =$

Teď vypočteš dolní část zlomku. „Dělit znamená násobit číslem převráceným“, což ti napovídá, že dělený zlomek násobíš převrácenou hodnotou dělícího zlomku – u druhého zlomku prohodíš čitatele se jmenovatelem. Zlomky mezi sebou násobíš čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem. Jelikož má zlomková čára stejnou funkci jako znaménko pro dělení, můžeš si horní a dolní zlomek přepsat jako dva zlomky, které dělíš.

$= \frac{52}{15} ⋅ \frac{15}{13} = \frac{4}{1} ⋅ \frac{1}{1} =$

A opět se řídíš stejným pravidlem – dělit znamená násobit číslem převráceným. Takto vynásobíš oba dva vzešlé zlomky. Před dělením můžeš zlomky zkrátit (v tomto případě křížem), ať se ti počítá snadněji.

$= 4$

Zprvu velmi složitě vypadající zlomek se po výpočtu rázem změnil na krásně jednoduché číslo.

obtížnost
3/a

40 % z 1850

Zobrazit řešení

Počítat lze více způsoby: Asi nejrychlejší bude, když danou procentuální hodnotu násobíš daným číslem vyděleným stem (40 ⋅ 18,5). Níže je rozepsaný druhý, logicky odvozený postup. Počítat můžeš i pomocí trojčlenky. Číslo 1850 představuje 100 procent. Jedno procento je tedy dané číslo vydělené stem.

$\frac{1850}{100} = 18,5$

Když znáš hodnotu jednoho procenta, snadno zjistíš, jakou hodnotu má 40 %. Stačí jen vzešlé číslo, jenž představuje jedno procento, vynásobit čtyřiceti.

$18,5 ⋅ 40 = 740$

Jde o velice jednoduché počítání. Stačí zjistit hodnotu jednoho procenta, pomocí které vypočítáš hodnotu libovolného počtu procent.

obtížnost
3/b

412 % ze 450

Zobrazit řešení

Uvědom si, že uvedené číslo je 100 %. Ze sta procent poté můžeš vypočítat libovolnou procentuální hodnotu.

$\frac{450}{100} = 4,5$

Číslo 450 představuje 100 procent. Jedno procento je tedy dané číslo vydělené stem.

$4,5 ⋅ 412 =$

Když znáš hodnotu jednoho procenta, snadno zjistíš, jakou hodnotu má 412 %. Stačí jen vzešlé číslo vynásobit číslem 412.

$= 1854$

Vůbec nevadí, že v příkladu byla přesažena hodnota sto procent. Vyjde pouze větší číslo, než bylo původní – základ. Příklad je samozřejmě možné počítat i trojčlenkou.

obtížnost
3/c

0,75 % ze 160

Zobrazit řešení

Uvědom si, že uvedené číslo je 100 %. Ze sta procent poté můžeš vypočítat libovolnou procentuální hodnotu.

$\frac{160}{100} = 1,6$

Číslo 160 představuje 100 procent. Jedno procento je tedy dané číslo vydělené stem.

$1,6 ⋅ 0,75 =$

Když znáš hodnotu jednoho procenta, snadno zjistíš, jakou hodnotu má 0,75 %. Stačí jen vzešlé číslo vynásobit číslem 0,75.

$= 1,2$

Někdy musíš spočítat hodnotu ještě menší než jedno procento. To nepředstavuje žádný problém. Zkrátka násobíš číslem menším než jedna a výsledkem je číslo, jenž představuje méně než hodnotu jednoho procenta. Příklad by se dal samozřejmě počítat i trojčlenkou.

obtížnost
3/d

43,6 % z 850

Zobrazit řešení

Uvědom si, že uvedené číslo je 100 %. Ze sta procent poté můžeš vypočítat libovolnou procentuální hodnotu.

$\frac{850}{100} = 8,5$

Číslo 850 představuje 100 procent. Jedno procento je tedy dané číslo vydělené stem.

$8,5 ⋅ 43,6 =$

Když znáš hodnotu jednoho procenta, snadno zjistíš, jakou hodnotu má 43,6 %. Stačí jen vzešlé číslo vynásobit číslem 43,6.

$= 370,6$

Jde o velice jednoduché počítání. Stačí zjistit hodnotu jednoho procenta, pomocí kterého vypočítáš hodnotu libovolného počtu procent.

obtížnost
4 - Základní poznatky

Pokud zvětšíš neznámé číslo o 6 %, dostaneš číslo 795. Urči neznámé číslo.

Zobrazit řešení

Uvědom si, že původní číslo mělo hodnotu 100 procent. Neznámé číslo vypočítáš jednoduše pomocí trojčlenky nebo pomocí níže rozepsaného postupu.

$1\ \% = \frac{795}{106} = 7,5$

Původní číslo je základ, z něhož počítáš. Má hodnotu sto procent. Číslo 795 je zvětšené oproti původnímu o šest procent, má tedy hodnotu sto šest procent. Dané číslo vydělíš sto šesti procenty pro zjištění hodnoty jednoho procenta.

$7,5 ⋅ 100 = 750$

Neznámé číslo vypočítáš tak, že vynásobíš hodnotu jednoho procenta stem. Musíš to tak udělat, protože původní číslo má hodnotu 100 %.

$= 750$

Neznáme číslo je 750.

obtížnost
5 - Základní poznatky

Verča si šla koupit nové boty do obchodního centra. V jednom obchodě uviděla značkové boty, které byly zlevněné z 1800 Kč na 1200 Kč, tak si je koupila. Zjisti, o kolik procent byly boty zlevněny. Výsledek zaokrouhli na celé číslo.

Zobrazit řešení

Je důležité si uvědomit, že původní číslo má hodnotu sto procent. Když tuto informaci vezmeš na vědomí, pak ti nebude dělat problém zjistit, o kolik byly boty zlevněny a z toho vypočítat procentuální hodnotu.

$1800\ – 1200 = 600$

Prvně zjistíš, o jakou částku byly boty zlevněny.

$\frac{600}{1800} ·100 ≐ 33,3$

Dále vypočteš, kolik procent je 600 z 1800, takže zlevněnou částku vydělíš původní částkou, vynásobíš stem a máš výsledek.

$≐\ 33,3\ \%$

Verča si koupila boty, které byly zlevněné asi o 33 %, tedy o jednu třetinu z celkové ceny.

obtížnost
6 - Základní poznatky

Lukáš a Tomáš dostali dohromady za brigádu 1888 Kč. Výplatu si rozdělili v poměru 3 : 5. Kolik peněz dostal Lukáš a kolik Tomáš?

Zobrazit řešení

Důležité je uvědomit si, že částku vlastně rozdělili na osm dílků. Z této informace už snadno odvodíš, kolik každý z nich z výplaty dostal.

$1888 : 8 = 236$

Celkovou částku si rozdělíš na osm dílků (3 + 5).

$236 ⋅ 3 = 708$

Lukáš dostal tři z osmi dílků, vynásobíš tedy částku třemi.

$236 ⋅ 5 = 1180$

Tomáš dostal zbytek peněz. Pro kontrolu si můžeš výsledné částky obou chlapců sečíst, ať víš, zda byly tvé výpočty správné (po sečtení obou částek dostaneš celkovou hodnotu peněz).

$708 + 1180 = 1888$

Lukáš dostal 708 Kč a Tomáš dostal 1180 Kč.

obtížnost
7 - Základní poznatky

Ve škole dostali studenti v 1. C zadání projektu na téma Cestování. Na společném projektu by jeden student pracoval 20 hodin. Jak dlouho potrvá práce čtyřem studentům za předpokladu, že jsou všichni stejně výkonní?

Zobrazit řešení

$20 : 4 =$

Jeden student by na projektu pracoval dvacet hodin. Když jsou čtyři, jednoduše počet hodin vydělíš čtyřmi. Samozřejmě toto můžeš provést jen za předpokladu, že všichni pracovali stejnou měrou.

$= 5$

Projekt zabere čtyřem studentům 5 hodin času.

obtížnost
8 - Základní poznatky

Rodina Žijemejaksedá si koupila bazén, který se rozhodla napustit. Jedním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní oběma přítoky současně?

Zobrazit řešení

Je potřeba si uvědomit, že za jednu hodinu se jedním přítokem naplní $\frac{1}{20}$ a druhým $\frac{1}{30}$ bazénu. S touto vědomostí příklad snadno vypočítáš.

$\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$

Když se jedním přítokem naplní bazén za hodinu z jedné dvacetiny a druhým z jedné třicetiny, dohromady to je jedna dvanáctina za hodinu (to vypočteš součtem obou zlomků: nejprve je převedeš na stejného jmenovatele, potom sečteš a zkrátíš).

$\frac{1}{12} ⋅ x = 1 →\ x = 12$

Jelikož se za jednu hodinu bazén napustí oběma přítoky z jedné dvanáctiny, celý se logicky naplní za dvanáct hodin (jednička představuje celý bazén).

$= 12$

Bazén se naplní za 12 hodin.